Мисоли зеринро Нурмаҳмад Аминов пешниҳод кардааст.

Айнияти ададиро исбот мекунем:

\(\sqrt{\underbrace{11...1}_{2n\text{-то}} - \underbrace{22...2}_{n\text{-то}}} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}, \quad n \in N\)

Ҳал. Тарафи чапи айниятро табдил дода ҳосил мекунем:

\(\sqrt{\frac{1}{9}\cdot\underbrace{99...9}_{2n\text{-то}} - \frac{2}{9}\cdot\underbrace{99...9}_{n\text{-то}}} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}, \quad n \in N\)

Акнун аз баробарии

\((*) \quad 10^n - 1 = \underbrace{99...9}_{n\text{-то}}\)

истифода бурда, бори дигар табдил дода, ҳосил мекунем \((n \in N)\):

\(\sqrt{\frac{1}{9}\cdot \left(10^{2n} -1\right) - \frac{2}{9}\cdot\left(10^n -1\right)} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

\(\sqrt{\frac{1}{9}\cdot 10^{2n} - \frac{1}{9} - \frac{2}{9}\cdot 10^n + \frac{2}{9}} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

\(\sqrt{\frac{1}{9}\cdot 10^{2n} - \frac{2}{9}\cdot 10^n + \frac{1}{9}} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

\(\sqrt{\frac{1}{9}\cdot\left(10^{2n} - 2\cdot 10^n + 1 \right)} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

\(\sqrt{\frac{1}{9}\cdot\left(10^n - 1 \right)^2} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

\(\sqrt{\left(\frac{1}{3}\cdot(10^n - 1) \right)^2} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

\(\frac{1}{3}\cdot(10^n - 1) = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

Бори дигар аз баробарии (*) истифода мебарем ва ҳосил мекунем:

\(\frac{1}{3}\cdot\underbrace{99...9}_{n\text{-то}} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

\(\frac{1}{3}\cdot 3 \cdot\underbrace{33...3}_{n\text{-то}} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);

\(\underbrace{33...3}_{n\text{-то}} = \underbrace{33...3}_{n\text{-то}}\);